Мощность тепловых потерь тока формула

Формула полезной мощности

Определение и формула полезной мощности

Мощность — это физическая величина, которую использует как основную характеристику любого устройства, которое применяют для совершения работы. Полезная мощность может быть использована для выполнения поставленной задачи.

Отношение работы ($Delta A$) к промежутку времени за которое она выполнена ($Delta t$) называют средней мощностью ($leftlangle Prightrangle $) за это время:

[leftlangle Prightrangle =fracleft(1right).]

Мгновенной мощностью или чаще просто мощностью называют предел отношения (1) при $Delta tto 0$:

Приняв во внимание, что:

[Delta A=overlinecdot Delta overlineleft(3right),]

где $Delta overline$ — перемещение тела под действием силы $overline$, в выражении (2) имеем:

где $ overline-$ мгновенная скорость.

Коэффициент полезного действия

При выполнении необходимой (полезной) работы, например, механической, приходится выполнять работу большую по величине, так как в реальности существуют силы сопротивления и часть энергии подвержена диссипации (рассеиванию). Эффективность совершения работы определяется при помощи коэффициента полезного действия ($eta $), при этом:

где $P_p$ — полезная мощность; $P$ — затраченная мощность. Из выражения (5) следует, что полезная мощность может быть найдена как:

[P_p=eta P left(6right).]

Формула полезной мощности источника тока

Пусть электрическая цепь состоит из источника тока, имеющего сопротивление $r$ и нагрузки (сопротивление $R$). Мощность источника найдем как:

где $?$ — ЭДС источника тока; $I$ — сила тока. При этом $P$ — полная мощность цепи.

Обозначим $U$ — напряжение на внешнем участке цепи, тогда формулу (7) представим в виде:

где $P_p=UI=I^2R=frac(9)$ — полезная мощность; $P_0=I^2r$ — мощность потерь. При этом КПД источника определяют как:

Максимальную полезную мощность (мощность на нагрузке) электрический ток дает, если внешнее сопротивление цепи будет равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом условии полезная мощность равна 50% общей мощности.

При коротком замыкании (когда $Rto 0;;Uto 0$) или в режиме холостого хода $(Rto infty ;;Ito 0$) полезная мощность равна нулю.

Примеры задач с решением

Задание. Коэффициент полезного действия электрического двигателя равен $eta $ =42%. Какой будет его полезная мощность, если при напряжении $U=$110 В через двигатель идет ток силой $I=$10 А?

Решение. За основу решения задачи примем формулу:

[P_p=eta P left(1.1right).]

Полную мощность найдем, используя выражение:

Подставляя правую часть выражения (1.2) в (1.1) находим, что:

Вычислим искомую мощность:

[P_p=eta IU=0,42cdot 110cdot 10=462 left(Втright).]

Ответ. $P_p=462$ Вт

Задание. Какова максимальная полезная мощность источника тока, если ток короткого замыкания его равен $I_k$? При соединении с источником тока сопротивления $R$, по цепи (рис.1) идет ток силой $I$.

Решение. По закону Ома для цепи с источником тока мы имеем:

где $varepsilon$ — ЭДС источника тока; $r$ — его внутреннее сопротивление.

При коротком замыкании считаем, что сопротивление внешней нагрузки равно нулю ($R=0$), тогда сила тока короткого замыкания равна:

Максимальная полезная мощность в цепи рис.1 электрический ток даст, при условии:

Тогда сила тока в цепи равна:

Максимальную полезную мощность найдем, используя формулу:

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Используя первое и второе уравнения системы (2.6) найдем $I’$:

Используем уравнения (2.1) и (2.2) выразим внутреннее сопротивление источника тока:

[varepsilon=Ileft(R+rright);; I_kr=varepsilon to Ileft(R+rright)=I_krto rleft(I_k+Iright)=IRto r=fracleft(2.8right).]

Подставим результаты из (2.7) и (2.8) в третью формулу системы (2.6), искомая мощность будет равна:

Закон Джоуля-Ленца и тепловые потери

Ток, протекающий в любом проводнике, вызывает его нагрев. Собственно, это и есть основное воздействие тока на проводящую среду. Двигаясь между узлами кристаллической решетки, электроны беспрестанно испытывают столкновения.

Из-за этого амплитуда тепловых колебаний атомов металла увеличивается, а скорость движения электронов и величина электрического тока не такая большая, как это могло бы быть теоретически.

Электроны «толкают» атомы – атомы колеблются сильнее. Раз увеличивается интенсивность колебаний, то столкновения происходят еще. Это приводит к еще большему нагреву. Интенсивность и частота столкновений электронов с атомами определяет электрическое сопротивление проводника, а следовательно, и величину тепловых потерь.

Можно предположить, что тепловые потери – явление однозначно отрицательное. Выделяемое тепло снижает коэффициент полезного действия сети, может повредить провода и изоляцию, вызвать возгорание и пожар.

Но на самом деле «электрическое тепло» может быть и очень полезным. Так, в традиционной электрической лампе накаливания именно перегрев спиральной нити вызывает свечение. Поэтому нить выбирается настолько тонкого сечения, чтобы оказывать достаточное сопротивление току, греться, но не перегорать.

При этом, правда, используются и некоторые технологические хитрости, такие как, например, специальный материал нити – тугоплавкий вольфрам, но сути дела это не меняет.

Условно полезным можно считать и выделение тепла при прохождении тока через проводник предохранителя или плавкой ставки. Если бы не это тепло – вставка или предохранитель не могли бы сработать и защитить цепь.

И, уж конечно, никому не нужно долго объяснять, насколько полезным является тепло, выделяемое проводниками в нагревательных элементах электрических плит и электрообогревателей.

Итак, очевидно, что тепловые потери во многих случаях можно было бы назвать и «тепловыми приобретениями». Есть и физический закон, позволяющий теоретически обосновать и рассчитать, на какие же именно «приобретения» мы можем рассчитывать в данной конкретной сети.

Закон этот открыли и исследовали независимо друг от друга два ученых в конце XIX века – Джеймс Джоуль и Эмиль Ленц. Они выяснили, что мощность тепловых потерь в проводнике прямо пропорциональна напряженности электрического поля и плотности электрического тока:

Здесь можно вспомнить закон Ома в дифференциальной форме и записать:

Это дифференциальная форма записи закона Джоуля-Ленца для тепловых потерь. Интереснее, конечно, интегральная форма, позволяющая рассчитать точное количество тепла, выделяемого проводником с током. После интегрирования по времени получаем закон Джоуля-Ленца в такой форме:

То есть, тепла выделится тем больше, чем больше в цепи электрический ток и выше сопротивление проводника. Ну и, разумеется, имеет значение время, в течение которого в этом проводнике протекает ток.

Очень важно то, что зависимость количества теплоты от тока – квадратичная, а от других параметров – прямо пропорциональная. Это означает, что даже при небольшом увеличении тока в цепи нагрев проводников существенно возрастает.

Изменение электрического сопротивления в большую сторону такого эффекта не дает, потому что при этом снижается электрический ток. Именно поэтому мгновенный перегрев проводов возникает при коротком замыкании и стремительном снижении сопротивления, а не при обрыве и устремлении сопротивления к бесконечности.

Мощность тепловых потерь тока формула

Если ток и напряжение синусоидальны, то их мгновенные значения могут быть представлены в виде:

(2)

,

так что мгновенная мощность

.

и

Но с другой стороны, по известной формуле

Подставляя выражения и произведения синусов в формулу () получим:

Таким образом, мгновенная мощность переменного тока может быть представлена в виде суммы постоянной величины и синусоидальной величины изменяющейся с двойной (по сравнению с током и напряжением) частотой.

Средняя (за период) мощность P может быть определена по формуле

и так как среднее значение второго члена равно 0, то

Это основная формула средней мощности переменного тока. Так как вывод ее не связан с какими-либо особенностями рассматриваемой цепи, то она может быть применена к любой цепи синусоидального переменного тока или к любому участку такой цепи.

Средняя мощность называется также активной мощностью в отличие от реактивной и кажущейся мощностей.

Найденное значение средней мощности отличается от выражения мощности постоянного тока наличием множителя , называемого коэффициентом мощности. Чем меньше коэффициент мощности, то есть чем больше сдвиг фаз между напряжением и током, тем меньше средняя мощность при тех же значениях тока и напряжения или тем больше ток при заданных значениях напряжения и мощности.

Низкий коэффициент мощности имеет следствием неполное использование оборудования электрической установки и уменьшение ее КПД. Если, например, генератор теплоэлектрической станции, работающей при напряжении 6000В, или 6кВ, рассчитан на наибольший ток 200А, то при =0,9 он может давать среднюю мощность

,

на которую будут рассчитаны и вращающая этот генератор паровая турбина и соответствующие паровые котлы. Но если окажется, что приемник, получающий энергию от этого генератора, имеет в действительности =0,45, т.е. вдвое меньше, то вдвое уменьшится и средняя мощность, которую можно получить от генератора, а следовательно, генератор, турбина и котлы будут использованы на половину своей мощности. Вместе с тем, так как тепловые потери в генераторе и соединительных проводах при неизменном токе также останутся неизменными, то в процентах от средней мощности они окажутся уже вдвое большими, т.е. КПД генератора и соединительных проводов заметно снизится. Отсюда понятна важность поддержания на достаточно высоком уровне.

Чтобы стимулировать работу при высоком , применяется дифференциальный тариф на электрическую энергию, при котором стоимость единицы энергии () зависит от среднего (за месяц), уменьшаясь по мере его увеличения. Низкий чаще всего бывает обусловлен недогрузкой электродвигателей; поэтому правильный выбор мощности электродвигателей является основным средством для получения высокого . На уже существующих установках недостаточно высокий может быть увеличен путем применения конденсаторов.

представляющей собой наибольшее значение активной мощности при заданных действующих значениях напряжения и тока. Хотя единицей кажущейся мощности является тот же ватт (или киловатт), который служит для измерения любой мощности, однако в применении кажущейся мощности ей дается измененное название вольт-ампер (или киловольт-ампер). Благодаря этому можно вместо кажущаяся мощность генератора можно говорить просто мощность генератора, не рискуя быть неправильно понятым. Так, в выражении «генератор мощностью 20 000 ква» имеется в виду кажущаяся мощность этого генератора.

Кажущаяся мощность связана с активной мощностью очевидным соотношением

,

позволяющим найти активную мощность генератора в определенных условиях нагрузки или подобрать необходимую кажущуюся мощность генератора, способного принять заданную нагрузку.

Пользуясь величинами P и S, можно представить выражение мгновенной мощности в более компактной форме:

,

представляет собой переменную составляющую мгновенной мощности. Последнее выражение показывает, что кажущаяся мощность является амплитудой этой переменной составляющей.

Если в цепи находится два или более последовательно соединенных приемника с разными , то есть с разными отношениями активной мощности к кажущейся, то кажущаяся мощность всей цепи (или равная ей необходимая кажущаяся мощность генератора) не может быть получена простым сложением кажущихся мощностей отдельных приемников. Действительно, кажущаяся мощность всей цепи

Где I-ток в любом из приемников, а U— общее напряжение в цепи, которое является, как уже известно, векторной, а не арифметической суммой напряжения отдельных приемников. Его абсолютная величина может быть определена по формуле:

,

1.15. Энергия электромагнитного поля. Мощность тепловых потерь энергии при протекании токов проводимости. Мощность сторонних источников эмп

Объёмная плотность энергии электрического поля равна

, (1.15.1)

где W_э измеряется в Дж/м 3 . Столько энергии на единицу объёма нужно затратить, чтобы перевести точку наблюдения Q из состояния (E = 0, D = 0) в состояние (E(Q,t), D(Q,t)).

Объёмная плотность энергии магнитного поля равна

, (1.15.2)

где W_м измеряется в Дж/м 3 . Столько энергии на единицу объёма нужно затратить, чтобы перевести точку наблюдения Q из состояния (H = 0, B = 0) в состояние (H(Q,t), B(Q,t)).

Объёмная плотность энергии электромагнитного поля равна

. (1.15.3)

В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объёмная плотность энергии ЭМП равна

. (1.15.4)

Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП. В случае нелинейных электрических и магнитных свойств вещества эта формула определяет обратимую составляющую энергии на единицу объёма, которую нужно затратить на перевод точки наблюдения Q из состояния отсутствия поля в состояние (E(Q,t), D(Q,t), H(Q,t), B(Q,t)). Если среда обладает гистерезисными магнитными либо диэлектрическими свойствами, то, используя формулы (1.15.1), (1.15.2), (1.15.3), (1.15.4), можно рассчитывать потери энергии на гистерезис при изменении во времени векторов ЭМП.

Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости

Удельная мощность сторонних источников

Единица измерения удельной мощности – Вт/м 3 .

1.16. Упражнения по энергетическому анализу заданных полей векторов эмп с использованием comsol Script

Дано. Тетраэдр находится в вакууме. В вершинах тетраэдра заданы значения векторов напряжённости электрического и магнитного поля. Единицы измерения – соответственно В/м и А/м. В объёме тетраэдра эти векторы изменяются по линейному закону. Координаты вершин заданы. Единицы измерения – метры. Узловые распределения векторов заданы так, что их дивергенции равны нулю. Сторонние источники ЭМП в объёме тетраэдра отсутствуют.

Определитьэнергию электрического, магнитного и электромагнитного поля в объёме тетраэдра. Определить мгновенные мощности накопления этих видов энергии в объёме тетраэдра.

Зададим узловые распределения векторов случайным образом, как это было сделано в предыдущих задачах. Модифицируем эти распределения функцией otstoiтак, чтобы дивергенции векторных полей были равны нулю. В вакууме=1,=1. Поэтому объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей равныW_Э=E 2 /2,W_М=H 2 /2. Если эти плотности проинтегрировать по объёму, то получатся значения энергии. Применив закон электромагнитной индукции и закон полного тока, учитывая, что в вакууме в неподвижной среде могут протекать только токи смещения, получим скорости изменения магнитной индукции и электрического смещения в объёме тетраэдра. Эти скорости распределены в анализируемом объёме равномерно.

E(Q) = [N](Q)[E (у) ];H(Q) = [N](Q)[H (у) ];

Энергия электрического поля вычисляется так:

Энергия магнитного поля:

Мощность накопления энергии электрического поля

Мощность накопления энергии магнитного поля

Последовательность операторов COMSOLScriptоформим в виде вычислительного сценария. Операторы ввода случайных исходных данных включим в состав этого жеm-файла. Ниже приведён его текст.

% ener_emf — Расчёт энергии ЭМП в объёме тетраэдра

nodes=0.1*rand(4,3) % Координаты узлов тетраэдра, м

E=rand(4,3)*10000-5000; % Значения вектора напряжённости электрического поля в узлах, В/м

H=rand(4,3)*100-50; % Значения вектора напряжённости магнитного поля в узлах, А/м

mu0=4e-7*pi; % Абсолютная магнитная проницаемость вакуума, Гн/м

eps0=8.85419E-12; % Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, Ф/м

E(end,:)=F.’ % Теперь div E = 0

H(end,:)=F.’ % Теперь div H = 0

de=abs(det([ones(4,1) nodes])); % Шестикратный объём тетраэдра

UE=eps0*de/240*sum(dot(E,ma*E,2)) % Энергия электрического поля, Дж

UM=mu0*de/240*sum(dot(H,ma*H,2)) % Энергия магнитного поля, Дж

U=UE+UM % Энергия ЭМП, Дж

pE=de/24*dot(roth,sum(E)) % Мощность накопления энергии электрического поля, Вт

pM=-de/24*dot(rote,sum(H)) % Мощность накопления энергии магнитного поля, Вт

p=pE+pM % Мощность накопления энергии ЭМП, Вт

Запустим на выполнение этот вычислительный сценарий из командного окна COMSOLScript.

0.07413565444730 0.05005279194151 0.09243847878884

0.05611883718735 0.02286918125054 7.66452227850e-004

0.07263132412423 0.00636457493582 0.05462130584484

0.08221670829349 0.03643491779045 0.05080149975125

-1.52908951345e+003 -963.59871149687251 4.80954855052e+003

1.56591835268e+003 -737.86015338358902 -2.20352303560e+003

-3.25961623387e+003 3.74984632338e+003 -1.33773865057e+003

24.86219292705629 3.21234053388e+003 -714.82503735431442

-7.38619546130244 20.39294597957436 -10.14124359854716

5.60598467179608 -9.08348106727826 -10.01148967285048

14.02785014707611 -37.59505454442122 -48.88527156440676

-18.41385213235850 28.63320367358517 2.92416295760912

Получились следующие результаты расчёта:

энергия электрического поля в объёме тетраэдра равна 1.9327287546610 -10 Дж,

энергия магнитного поля равна 2.5913209491210 -9 Дж,

энергия электромагнитного поля равна 2.7845938245910 -9 Дж,

мощность накопления энергии электрического поля составила -15.77838954407327 Вт, это означает, что энергия электрического поля в рассматриваемом объёме расходуется в данный момент времени со скоростью 15.77838954407327 Дж/с,

мощность накопления энергии магнитного поля составила 20.18878606154723 Вт, т.е. эта энергия накапливается со скоростью 20.18878606154723 Дж/с,

мощность накопления энергии электромагнитного поля составила 4.41039651747395 Вт, т.е. эта энергия накапливается со скоростью 4.41039651747395 Дж/с.

Задача 2.

Дано. Тетраэдр находится в проводящей среде с заданным значением удельной электрической проводимости. В вершинах тетраэдра заданы значения векторов напряжённости электрического и магнитного поля. Единицы измерения – соответственно В/м и А/м. В объёме тетраэдра эти векторы изменяются по линейному закону. Координаты вершин заданы. Единицы измерения – метры. Узловые распределения векторов заданы так, что их дивергенции равны нулю. Имеются сторонние объёмно-распределённые источники тока в объёме тетраэдра. Составляющие плотности тока не заданы. Токами смещения можно пренебречь. Сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля равна нулю.

Определитьмощность тепловых потерь в объёме тетраэдра при протекании тока проводимости. Определить электромагнитную мощность, генерируемую объёмно-распределённым источником тока в рассматриваемом объёме.

Зададим узловые распределения векторов случайным образом, как это было сделано в предыдущих задачах. Модифицируем эти распределения функцией otstoiтак, чтобы дивергенции векторных полей были равны нулю. Ротор напряжённости магнитного поля равен полной плотности тока. По условиям данной задачи полная плотность тока распределена в объёме тетраэдра равномерно, потому что напряжённость магнитного поля распределена линейно.

Последовательность операторов COMSOLScriptоформим в виде вычислительного сценария. Операторы ввода случайных исходных данных включим в состав этого жеm-файла. Ниже приведён его текст.

% power_cur — Расчёт мощности при протекании тока

nodes=0.1*rand(4,3) % Координаты узлов тетраэдра, м

E=rand(4,3)-0.5; % Значения вектора напряжённости электрического поля в узлах, В/м

H=rand(4,3)*3000-1500; % Значения вектора напряжённости магнитного поля в узлах, А/м

gam=1E6; % Удельная электрическая проводимость вещества внутри тетраэдра, См/м

E(end,:)=F.’ % Теперь div E = 0

H(end,:)=F.’ % Теперь div H = 0

de=abs(det([ones(4,1) nodes])); % Шестикратный объём тетраэдра

% roth — полная плотность тока, А/м^2

decon=gam*E; % Узловое распределение плотности тока проводимости

denem=repmat(roth,4,1)-decon; % Сторонняя плотность тока в узлах

pow_heat=de/120*sum(dot(decon,ma*E,2)) % Мощность тепловых потерь, Вт

pow_sour=-de/120*sum(dot(denem,ma*E,2)) % Мощность стороннего источника тока, Вт

Запустим на выполнение этот вычислительный сценарий из командного окна COMSOLScript.

0.01108035733379 0.04561510214864 0.01434380222677

0.07277991320743 0.00270110466597 0.09833856215778

0.00512829600308 0.08162500924789 0.00540263145506

0.01393043253571 0.08798039024878 0.01777575499173

0.03593333685112 -0.36579090912196 0.48494717558657

0.07963264578989 0.40486794562053 -0.03852575546681

-0.21038612148555 -0.36319613070119 -0.06721132364824

0.12724279523511 -0.25821981980774 0.19702265451285

334.35216460951733 895.17427751251580 909.28160366232350

1.31356640445e+003 -706.02311180004358 860.73821591846672

-1.02862618721e+003 622.94620706256819 548.26655980765281

-485.19590732744734 193.58299928398475 1.62641858944e+003

Получились следующие результаты расчёта:

Мощность тепловых потерь при протекании тока проводимости равна 0.01785692781837 Вт,

Генерируемая мощность стороннего источника тока равна 0.13848507551475 Вт.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.